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By Ludger Rüschendorf (auth.)

Eine intestine motivierte Einführung in zentrale und vielfältige Themen, Methoden und Anwendungen der mathematischen Statistik wird in diesem Lehrbuch gegeben. Ausgehend von der statistischen Datenanalyse werden klassische und auch neuere Konstruktionsprinzipien für statistische Verfahren behandelt und begründet. Das Buch versucht neben den klassischen Themengebieten auch in neuere Anwendungen einzuführen. Diese reichen von Methoden der asymptotischen Statistik über nichtparametrische Schätzverfahren, robuste und sequentielle checks sowie zur Statistik von Zählprozessen mit bedeutsamen Anwendungen z.B. in der Survival-Analyse bis hin zur Bildverarbeitung und Bildrekonstruktion und zum Quantile hedging in der Finanzmathematik.

Das Buch zeigt, dass die Mathematische Statistik ein Gebiet mit vielen besonders schönen Ideen und Methoden und überraschenden Resultaten ist.

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Die Prinzipien der Lebensversicherungstechnik: Erster Teil Die Versicherung der Normalen Risiken

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1, 0, Risikofunktion Als n¨ achstes ben¨ otigen wir eine M¨ oglichkeit, den Verlust bzgl. einer Entscheidungsfunktion zu messen. 7 (Risikofunktion) Sei (E, Δ, L) ein Entscheidungsproblem. a) Die Abbildung R : Θ × D → [0, ∞), R(ϑ, δ) := L(ϑ, y) δ(x, dy) X dPϑ (x) Δ heißt Risikofunktion. Rδ := R(·, δ) bezeichnet die Risikofunktion von δ als Funktion auf Θ. b) Die Menge R := {Rδ ; δ ∈ D} heißt Risikomenge. 1 Statistisches Entscheidungsproblem 23 Die Risikofunktion R beschreibt den erwarteten Verlust bei Verwendung der Entscheidungsfunktion δ bei Vorliegen von ϑ.

H. d = dτ (x) ist der Bayes-Sch¨ atzer bzgl. der empirischen a-priori-Verteilung μτ (x) (bei gegebenem x). d heißt empirischer Bayes-Sch¨ atzer. c) Das arithmetische Mittel in Dimension k ≥ 2; James-Stein-Sch¨ atzer Das arithmetische Mittel xn ist auch in Dimension k = 2 zum Sch¨atzen des Mittelwertvektors ϑ zul¨ assig, u ¨ berraschenderweise aber nicht in k ≥ 3 nach einem Resultat von Stein (1956). Zur Erl¨ auterung dieses Ph¨anomens betrachten wir o. E. den Fall n = 1. Sei k Pϑ = N (ϑi , 1) , g(ϑ) = ϑ , ϑ ∈ Θ = Rk .

Das Risiko 1000 zu erhalten, werden bzgl. d2 , n = 45 Beobachtungen ben¨otigt, bzgl. d1 aber n ≈ 333 Beobachtungen. d2 ist in Modell 2. ein optimaler Sch¨atzer. Vergleich der Modelle 1. : F¨ ur gleiches Risiko in Modell 1. mit Sch¨atzer d1 und n Beobachtungen und in Modell 2. mit Sch¨atzer d2 und m 1 1 Beobachtungen erhalten wir die Bedingung: 3n ∼ 2m 2 ; also m∼ 3√ n. 2 26 2 Statistische Entscheidungstheorie In Modell 2. ist der Lokationsparameter mit deutlich geringerer Beobachtungszahl als in Modell 1.

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