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By Shermann K. Stein

Differentiation Das Ziel dieses Buches ist es, dem Studenten und dem Lehrer einen leicht lesbaren und abwechslungsreichen textual content Die Differentiation transzendenter Funktionen wird an die Hand zu geben, der die wichtigsten Gebiete der Infi aus zwei Griinden sehr bald eingefiihrt. Zunachst sind die nitesimalrechnung in einer und in mehreren Variablen so transzendenten Funktionen fUr die praktischen Anwen einfach wie moglich darbietet. dungen wesentlich wichtiger als die Polynome. Zum zwei ten laBt sich die Idee des Grenzwertes an Hand der Ablei Viele Studenten beschaftigen sich mit hoherer Mathe tung des Sinus und der logarithrnischen Funktion wesent matik, ehe der eine"oder andere sich entschlieBt, Mathema lich deutlicher veranschaulichen, als dies bei der Ableitung tik als Hauptfach oder als Beruf auszuwahlen. Gerade des von Polynomen der Fall ist. (Dort namlich kann x ohne halb habe ich viele Beispiele und Dbungen zusammengestellt, Schwierigkeiten auch gleich Null sein.) sei es nun zur Anreicherung der Darstellung oder auch zur Unterhaltung des Lesers; jedenfalls aber, urn dem Studen Anwendungen ten den Zusammenhang zwischen mathematischen Konzep ten und der realen Welt moglichst umfassend zu erschlieBen. Zusatzlich zu den iiblichen geometrischen und physi Dies gilt etwa flir das Beispiel des cars, die Ausschopfung kalischen Anwendungen enthiilt der textual content zahlreiche Veran natiirlicher Ressourcen, Beispiele aus dem Wirtschaftsleben schaulichungen aus anderen Gebieten. In den Dbungen und oder der Weltraumfahrt.

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A) Man zeichne die Kurve y = x 2 so sorgfiiltig wie moglich. (b) Man zeichne so sorgfiiltig wie moglich die Tangente im Punkt (4; 16). (c) Man bestimme den Anstieg der Tangente mit Hilfe eines Lineals. (d) Man bestimme den Anstieg der Geraden durch die Punkte (4; 16) und (4,01; 4,01 2 ). (e) Man bestimme den Anstieg der Geraden durch die Punkte (4; 16) und (3,99; 3,99 2 ). (j) Man vergleiche die Resultate von (c) mit denen von (d) und (e). 2. Welche Abschiitzung erhiilt man fUr (a) die Geschwindigkeit des Steins in Problem 1 aus der Untersuchung des Zeitintervalls von 2 s bis 2,001 s; (b) den Anstieg der Tangente im Problem 2, wenn man als zweiten Punkt auf der Kurve den Punkt (2,001; 2,001 2 ) verwendet; (c) die Vergro~erung des Intervalls [2; 2,001] aus Problem 3; (d) die Dichte im Intervall [2; 2,001] aus Problem 4?

B eispiell: Man bestimme im Punkt P = (1; 13 ) den Anstieg der Tangente an die Kurve y = x 3 • L6sung: Es ist nicht notwendig, die Kurve zu zeichnen. Wir gehen wie bei Problem 2 vor und wahlen einen Punkt Q = (x; x 3 ) auf der Kurve. Die Gerade durch die Punkte P = (1; 13 ) und Q hat den Anstieg x3 - 13 x-I Urn den Zahler zu vereinfachen, verwenden wir die algebraische Identitat c 3 -d 3 = (c 2 + cd +d 2 )(c -d). Flir c = x und d x3 - =I ergibt dies 13 = (x 2 + X • I + 12) (x - 1). Der Anstieg der Geraden durch P und Q betragt daher (x 2 + x + I)(x - 1) x-I oder 3 Die Ableitung 28 Strebt nun x gegen 1, so erreicht der Anstieg der Geraden durch P und Q den Wert 1 + 1 + 1 = 3.

Allerdings schneidet sie die y-Achse urn eine Einheit hoher und geht daher nicht durch den Punkt (0; 0). Das Schaubild von /(x) /(X) = 2x +1 --~~--+-~---------------X FUr x = 0 folgt y=a'O+b =O+b =b. Bekanntlich bestirnrnt die Zahl a, wie steil das Schaubild der Funktion y = ax + b verlauft. Urn dies genauer zu forrnulieren, rntissen wir den Begriff der Steigung einflihren. 14). Einern Zuwachs der horizontalen Koordinate von Xl nach X2, also der Differenz X2 -Xl, entspricht ein viel groSerer Zuwachs in der Vertikalen Y2 - Yl.

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